已知a>0,函数f(x)=|x-ax+2a|.(I)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(II)是否存在a使函数y=f(x)在区

已知a>0,函数f(x)=|x-ax+2a|.(I)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(II)是否存在a使函数y=f(x)在区

题型:湖南难度:来源:
已知a>0,函数f(x)=|
x-a
x+2a
|

(I)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;
(II)是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(I)当0≤x≤a时,f(x)=
a-x
x+2a
;当x>a时,f(x)=
x-a
x+2a

∴当0≤x≤a时,f′(x)=
-3a
(x+2a)2
<0
,f(x)在(0,a)上单调递减;
当x>a时,f′(x)=
3a
(x+2a)2
>0
,f(x)在(a,+∞)上单调递增.
①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=
1
2

②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增
∴g(a)=max{f(0),f(4)}
∵f(0)-f(4)=
1
2
-
4-a
4+2a
=
a-1
2+a

∴当0<a≤1时,g(a)=f(4)=
4-a
4+2a
;当1<a<4时,g(a)=f(0)=
1
2

综上所述,g(a)=





4-a
4+2a
,0<a≤1
1
2
,a>1

(II)由(I)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求;
当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增,若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在
两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)f′(x2)=-1
-3a
(x1+2a)2
3a
(x2+2a)2
=-1
x1+2a=
3a
x2+2a

∵x1∈(0,a),x2∈(a,4),
∴x1+2a∈(2a,3a),
3a
x2+2a
∈(
3a
4+2a
,1)
∴①成立等价于A=(2a,3a)与B=(
3a
4+2a
,1)的交集非空
3a
4+2a
<3a
,∴当且仅当0<2a<1,即0<a<
1
2
时,A∩B≠∅
综上所述,存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是(0,
1
2
).
举一反三
已知函数f(x)=x-1+
a
ex
(a∈R,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点,求k的最大值.
题型:福建难度:| 查看答案
曲线y=x3-3x2+1在P(0,1)处的切线方程是(  )
A.y=x+1B.y=1C.x=0D.不存在
题型:不详难度:| 查看答案
若过点(0,-1)作抛物线y=ax2(a>0)的两条切线互相垂直,则a为(  )
A.1B.2C.
1
2
D.
1
4
题型:不详难度:| 查看答案
已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,a=(  )
A.9B.6C.-9D.-6
题型:不详难度:| 查看答案
设l为曲线C:y=
lnx
x
在点(1,0)处的切线.
(Ⅰ)求l的方程;
(Ⅱ)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线l的下方.
题型:北京难度:| 查看答案
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