(Ⅰ)由f(x)=x-1+,得f′(x)=1-,又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴, ∴f′(1)=0,即1-=0,解得a=e. (Ⅱ)f′(x)=1-, ①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以f(x)无极值; ②当a>0时,令f′(x)=0,得ex=a,x=lna, x∈(-∞,lna),f′(x)<0;x∈(lna,+∞),f′(x)>0; ∴f(x)在∈(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增, 故f(x)在x=lna处取到极小值,且极小值为f(lna)=lna,无极大值. 综上,当当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)在x=lna处取到极小值lna,无极大值. (Ⅲ)当a=1时,f(x)=x-1+,令g(x)=f(x)-(kx-1)=(1-k)x+, 则直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点, 等价于方程g(x)=0在R上没有实数解. 假设k>1,此时g(0)=1>0,g()=-1+<0, 又函数g(x)的图象连续不断,由零点存在定理可知g(x)=0在R上至少有一解,与“方程g(x)=0在R上没有实数解”矛盾,故k≤1. 又k=1时,g(x)=>0,知方程g(x)=0在R上没有实数解, 所以k的最大值为1 |