设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=12时,f(x)的极小值为-1.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)证明:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)图象
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设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=12时,f(x)的极小值为-1.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)证明:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)图象
题型:不详
难度:
来源:
设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=
1
2
时,f(x)的极小值为-1.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)证明:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)图象上任意两点的连线的斜率恒大于0.
答案
(Ⅰ)设f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0)
∵其图象关于原点对称,即f(-x)=-f(x)
得-ax
3
+bx
2
-cx+d=-ax
3
-bx
2
-cx-d
∴b=d=0,
则有f(x)=ax
3
+cx
由f′(x)=3ax
2
+c,依题意得f′(
1
2
)=0
∴
3
4
a+c=0
①
f(
1
2
)=
1
8
a+
1
2
c=-1
②(5分)
由①②得a=4,c=-3故所求的解析式为:f(x)=4x
3
-3x.(6分)
(Ⅱ)由f′(x)=12x
2
-3>0
解得:x>
1
2
或x<
-
1
2
(8分)
∵(1,+∞)⊂(
1
2
,+∞)
∴x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递增;(10分)
设(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)是x∈(1,+∞)时,
函数f(x)图象上任意两点,
且x
2
>x
1
,则有y
2
>y
1
∴过这两点的直线的斜率
k=
y
2
-
y
1
x
2
-
x
1
>0
.(12分)
举一反三
设正数a,b满足
lim
x→2
(
x
2
+ax-b)=4
,则
lim
n→∞
a
n+1
+a
b
n-1
a
n-1
+2
b
n
=( )
A.0
B.
1
4
C.
1
2
D.1
题型:重庆
难度:
|
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已知函数f(x)=ax
3
+3x
2
-6ax-11,g(x)=3x
2
+6x+12,直线m:y=kx+9,又f′(-1)=0.
(1)求函数f(x)=ax
3
+3x
2
-6ax-11在区间(-2,3)上的极值;
(2)是否存在k的值,使直线m既是曲线y=f(x)的切线,又是y=g(x)的切线;如果存在,求出k的值;如果不存在,说明理由;
(3)如果对于所有x≥-2的x,都有f(x)≤kx+9≤g(x)成立,求k的取值范围.
题型:河东区一模
难度:
|
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函数
f(x)=
1
2
lnx+
x
2
-6x+8
在区间(2,4)内的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
难度:
|
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已知曲线
y=
1
8
x
2
的一条切线的斜率为
1
2
,则切点的纵坐标为( )
A.
1
2
B.
1
4
C.4
D.2
题型:宜宾一模
难度:
|
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设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax+
1
ax
+b(a>0)
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=
3
2
x
,求a,b的值.
题型:安徽
难度:
|
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