已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为Sn，Sk=2550．（Ⅰ）求a及k的值；（Ⅱ）求limn→∞(1S1+1S2+…+1Sn)．

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已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S_n，S_k=2550．
（Ⅰ）求a及k的值；
（Ⅱ）求

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)．

答案

（Ⅰ）设该等差数列为{a_n}，
则a₁=a，a₂=4，a₃=3a，S_k=2550．
由已知有a+3a=2×4，
解得首项a₁=a=2，
公差d=a₂-a₁=2．
代入公式S_k=k•a₁+

k(k-1)

2

•d
得k•2+

k(k-1)

2

•2=2550
∴k²+k-2550=0
解得k=50，k=-51（舍去）
∴a=2，k=50；

（Ⅱ）由Sn=n•a1+

n(n-1)

2

•d
得S_n=n（n+1），

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

=

1

1×2

+

1

2×3

++

1

n(n+1)

=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)++(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

∴

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

++

1

Sn

)=

lim

n→∞

(1-

1

n+1

)=1．