已知函数f(x)=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若当x∈[1，+∞）时，f(x)-23＞a2恒

题型：揭阳一模难度：来源：

已知函数f(x)=

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x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，+∞）时，f(x)-

2

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＞a2恒成立，求a的取值范围．

答案

（1）求导函数，可得f"（x）=x²-2bx+2
∵x=2是f（x）的一个极值点
∴f"（2）=4-4b+2=0，∴b=

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，--------------------------------------------（2分）
∴f"（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）------------------------------------------（4分）
由f"（x）＞0得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞）；------（6分）
由f"（x）＜0得1＜x＜2，∴函数f（x）的单调减区间为（1，2），---------------------（8分）
（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（x）_min=f（2）=a+

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3

，------------------（10分）
x∈[1，+∞）时，f(x)-

2

3

＞a2恒成立等价于a2＜f(x)min-

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3

，x∈[1，+∞)-----------（12分）
即a²-a＜0，
∴0＜a＜1．----------------------------------------------------（14分）