设函数f(x)=aex+1aex+b(a>0).(Ⅰ)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=32x,
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设函数f(x)=aex+1aex+b(a>0).(Ⅰ)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=32x,
题型:安徽
难度:
来源:
设函数f(x)=ae
x
+
1
a
e
x
+b(a>0).
(Ⅰ)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=
3
2
x
,求a,b的值.
答案
(Ⅰ)设t=e
x
(t≥1),则
y=at+
1
at
+b
∴
y′=
a
2
t
2
-1
a
t
2
①当a≥1时,y′>0,∴
y=at+
1
at
+b
在t≥1上是增函数,
∴当t=1(x=0)时,f(x)的最小值为
y=a+
1
a
+b
②当0<a<1时,
y=at+
1
at
+b≥2+b
,当且仅当at=1(x=-lna)时,f(x)的最小值为b+2;
(Ⅱ)求导函数,可得)
f′(x)=a
e
x
-
1
a
e
x
∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=
3
2
x
,
∴
f(2)=3
f′(2)=
3
2
,即
a
e
2
-
1
a
e
2
=
3
2
a
e
2
+
1
a
e
2
+b=3
,解得
a=
2
e
2
b=
1
2
.
举一反三
已知函数f(x)=(x
2
+ax+1)e
x
,g(x)=2x
3
-3x
2
+a+2,其中a<0.
(Ⅰ)若a=-1,求f(x)的极大值;
(Ⅱ)当x∈[-1,1]时,f(x)的最小值不小于g(x)的最大值,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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函数f(x)=e
x
sinx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为( )
A.0
B.
π
4
C.1
D.
3
2
题型:不详
难度:
|
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曲线y=x
3
-2x+4在点(1,3)处的切线的斜率为( )
A.
3
3
B.1
C.
3
D.
-
3
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
1
3
x
3
+ax
2
-bx+1(x∈R,a,b为实数)有极值,且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行.
(Ⅰ)求实数a的取值范围;
(Ⅱ)是否存在实数a,使得函数f(x)的极小值为1,若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)设函数g(x)=
f
′
(x)-2ax+b-1
x
-2lnx,试判断函数g(x)在(1,+∞)上的符号,并证明:lnn+
1
2
(1+
1
n
)≤
n
i-1
1
i
(n∈N
*
).
题型:宜宾一模
难度:
|
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函数f(x)=x
3
-x
2
+x+1在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x
2
围成的图形的面积等于______.
题型:临沂一模
难度:
|
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