(Ⅰ)∵f′(x)=x2+2ax-b,∴f′(1)=1+2a-b, 又因为函数在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行,所以在x=1处的切线的斜率等于1,∴f′(1)=1∴b=2a① ∵f(x)有极值,故方程f′(x)=x2+2ax-b=0有两个不等实根∴△=4a2+4b>0∴a2+b>0② 由①.②可得,a2+2a>0∴a<-2或a>0 故实数a的取值范围是a∈(-∞,-2)∪(0,+∞) ((Ⅱ)存在a=-…(5分) 由(1)可知f′(x)=x2+2ax-b,令f′(x)=0∴x1=-a-,x2=-a+
∴f(x)极小=f(x2)=x23+ax22-2ax2+1=1, ∴x2=0或x22+3ax2-6a=0 若x2=0,则-a+=0,则a=0(舍), 若x22+3ax2-6a=0,又f′(x2)=0,∴x22+2ax2-2a=0, ∴ax2-4a=0 ∵a≠0∴x2=4 ∴-a+=4, ∴a=-<2∴存在实数a=-,使得函数f(x)的极小值为1. (Ⅲ)由g(x)=-2lnx=-2lnx=x--2lnx 故g′(x)=1+-==>0, 则g(x)在(1,+∞)上是增函数,故g(x)>g(1)=0, 所以,g(x)在(1,+∞)上恒为正. 当n是正整数时,>1,设x=,则 g()=--2ln =1+-1+-2[ln(n+1)-lnn] =+-2[ln(n+1)-lnn]>0, 即+>2[ln(n+1)-lnn] 上式分别取n的值为1、2、3、…、n-1(n>1)累加得: (+)+(+)+(+)+…++ >2[ln2-ln1+ln3-ln2+ln4-ln3+…lnn-ln(n-1)] ∴1+2(+++…)+>2lnn 2(1++++…+)>2lnn+1+ ∴1++++…+)>lnn+(1+) 即lnn+(1+)<n |
| i-1 | ,(n>1) 又当n=1时,lnn+(1+)=n |
| i-1 | , 故lnn+(1+)≤n |
| i-1 | ,当且仅当n=1时取等号. |