已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8(a>2).(Ⅰ)求函数f(x)极值;(Ⅱ)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求
题型:柳州三模难度:来源:
已知函数f(x)=x3+2x2+x-4,g(x)=ax2+x-8(a>2). (Ⅰ)求函数f(x)极值; (Ⅱ)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)≥g(x),求实数a的取值范围. |
答案
(I)f′(x)=3x2+4x+1 令f′(x)=0解得x1=-1或x2=- 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:
∴当x=-1时,f(x)取得极大值为-4 当x=-时,f(x)取得极小值为-; (Ⅱ)设F(x)=f(x)-g(x)=x3+(2-a)x2+4 ∵F(x)≥0在[0,+∞)恒成立⇔F(x)min≥0, x∈[0,+∞) 且F′(x)=3x2+(4-2a)x 令{F^"}(x)=0,解得x=0,x= ∵a>2, ∴当0<x<时,F"(x)<0 当x>时,F"(x)>0 ∴当x∈(0,+∞)时,F(x)min=F()≥0 即()3+(2-a)()2+4≥0 解得a≤5, ∴2<a≤5 当x=0时,F(x)=4成立 故综上所述:实数a的取值范围是a∈(2,5]. |
举一反三
已知函数f(x)=x3-x2在x=1处切线的斜率为b,若g(x)=blnx-,且g(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是______. |
曲线y=(a+)x3-x在点x=1处的切线为m,在点x=0处的切线为n,则直线m与n的夹角的取值范围是( ) |
函数f(x)=x3-2x+3的图象在x=1处的切线与圆x2+y2=8的位置关系是( )A.相切 | B.相交且过圆心 | C.相交但不过圆心 | D.相离 |
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已知f(x)=ax-,g(x)=lnx,(x>0,a∈R是常数). (1)求曲线y=g(x)在点P(1,g(1))处的切线l. (2)是否存在常数a,使l也是曲线y=f(x)的一条切线.若存在,求a的值;若不存在,简要说明理由. (3)设F(x)=f(x)-g(x),讨论函数F(x)的单调性. |
若(1+5x)n的展开式中各项系数之和为an,(7x2+1)n的展开式中各项的二项式系数之和为bn,则的值是( ) |
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