由得f′(x)=ax2+2bx+c 因为f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,所以(*) (Ⅰ)当a=3时,又由(*)式得 解得b=-3,c=12 又因为曲线y=f(x)过原点,所以d=0 故f(x)=x3-3x2+12x (Ⅱ)由于a>0,所以“f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立”. 由(*)式得2b=9-5a,c=4a. 又△=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9) 解得a∈[1,9] 即a的取值范围[1,9] |