(1)由已知f(x)为奇函数,故b=0, 所以f(x)=ax3+(a2-6)x,f′(x)=ax2+a2-6, 由极值的条件可得f′(1)=a+a2-6=0, 解得a=-3或a=2, 当a=2时,x=1为f(x)的极小值点,与已知矛盾,舍去. 故f(x)=-x3+3x; (2)由(1)知n=-m3+3m,设切点为(x0,-x03+3x0), 则切线方程为y-(-x03+3x0)=(-3x02+3)(x-x0). P点在切线上,有-m3+3m-(-x03+3x0)=(-3x02+3)(m-x0), 即-(m3-x03)+3(m-x0)=(-3x02+3)(m-x0), 分解因式可得-(m-x0)(m2+mx0+x02)+3(m-x0)=(-3x02+3)(m-x0), 即(x0-m)(2x02-mx0-m2)=0,即(x0-m)2(x0-)=0, 当m=0时,x0=0,此时原曲线仅有一条切线; 当m≠0时,x0=m,或x0=-,此时原曲线有两条切线. 故过点P作该曲线的切线至多存在两条. |