已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．（Ⅰ）用b表示a，并求b的范围；（Ⅱ）设此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，求S的最大值及此时a、

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已知抛物线y=ax²+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．
（Ⅰ）用b表示a，并求b的范围；
（Ⅱ）设此抛物线与x轴所围成的图形的面积为S，求S的最大值及此时a、b的值．

答案

（I）因为直线x+y=4与抛物线y=ax²+bx相切，设切点（x₀，y₀）
则f′（x₀）=2ax₀+b=-1，∴x0=

-b-1

又∵

x0+y0=4

y0=ax02+bx

0得a=-

(b+1)2

，∵0＜x₀，0＜y₀，得0＜

-b-1

＜4，解得b＞1
（II）S=

∫

(ax2+bx)dx=

6a2

b3=

128b3

6(b+1)4

，S′=

128b2(3-b)

3(b+1)5

；
所以在b=3时，S取得极大值，也是最大值，即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=

．

举一反三

已知函数f（x）的导数f′（x）=a（x+1）•（x-a），若f（x）在x=a处取到极大值，则a的取值范围是______．

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若曲线y=x²+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x+y-1=0，则（　　）

A．a=1，b=1

B．a=-1，b=1

C．a=1，b=-1

D．a=-1，b=-1

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已知函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（　　）

A．-1＜a＜2

B．-3＜a＜6

C．a＜-3或a＞6

D．a＜-1或a＞2

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曲线y=xe^x在x=1处的切线方程是______．

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已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5的图象在x=1处的切线l斜率为3，当x=

时，有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

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