已知实数a<0,函数f(x)=ax(x﹣1)2+a+1(x∈R).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)有极大值﹣7,求实数a的值.
题型:福建省月考题难度:来源:
已知实数a<0,函数f(x)=ax(x﹣1)2+a+1(x∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若f(x)有极大值﹣7,求实数a的值. |
答案
解:(Ⅰ)∵f(x)=ax(x﹣1)2+a+1, ∴f′(x)=a(3x2﹣4x+1). 令f′(x)=0, ∵a<0,∴3x2﹣4x+1=0,即(3x﹣1)(x﹣1)=0, ∴x= 或x=1 当x∈ 时,f′(x)>0,f(x)的单调递增区间为 当x∈(﹣∞, )或x∈(1,+∞)时,f′(x)<0, f(x)的单调递减区间为(﹣∞, ),(1,+∞). (Ⅱ)∵x∈(﹣∞, )时,f′(x)<0, x∈ 时,f′(x)>0, x∈(1,+∞)时,f′(x)<0, ∴f(x)在x=1处取得极大值﹣7.即a+1=﹣7, 解得a=﹣8 |
举一反三
已知函数.当x=2时,函数f(x)取得极值. (I)求实数a的值; (II)若1≤x≤3时,方程f(x)+m=0有两个根,求实数m的取值范围. |
已知f(x)=x2+bx+c为偶函数,曲线y=f(x)过点(2,5),g(x)=(x+a)f(x). (1)求曲线y=g(x)有斜率为0的切线,求实数a的取值范围; (2)若当x=﹣1时函数y=g(x)取得极值,确定y=g(x)的单调区间. |
已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且是y=f(x)的极值点,则a+b=( ). |
函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线为:l:y=g(x)=f′(x0)(x﹣x0)+f(x0),F(x)=f(x)﹣g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,且a<x0<b,那么 |
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A.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极大值点 B.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极小值点 C.F′(x0)≠0,x=x0不是F(x)极值点 D.F′(x0)≠0,x=x0是F(x)极值点 |
已知三次函数f(x)=ax3﹣x2+x在(0,+∞)存在极大值点,则a的范围是 |
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A. B. C. D. |
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