已知f(x)=x2+bx+c为偶函数,曲线y=f(x)过点(2,5),g(x)=(x+a)f(x).(1)求曲线y=g(x)有斜率为0的切线,求实数a的取值范围
题型:江苏省期末题难度:来源:
已知f(x)=x2+bx+c为偶函数,曲线y=f(x)过点(2,5),g(x)=(x+a)f(x). (1)求曲线y=g(x)有斜率为0的切线,求实数a的取值范围; (2)若当x=﹣1时函数y=g(x)取得极值,确定y=g(x)的单调区间. |
答案
解:(1)∵f(x)=x2+bx+c为偶函数, 故f(﹣x)=f(x) 即有(﹣x)2+b(﹣x)+c=x2+bx+c 解得b=0又曲线y=f(x)过点(2,5), 得22+c=5,有c=1 ∵g(x)=(x+a)f(x)=x3+ax2+x+a 从而g"(x)=3x2+2ax+1, ∵曲线y=g(x)有斜率为0的切线, 故有g"(x)=0有实数解.即3x2+2ax+1=0有实数解. 此时有△=4a2﹣12≥0 解得a∈(﹣∞,﹣]∪[,+∞) 所以实数a的取值范围:a∈(﹣∞,﹣]∪[,+∞); (2)因x=﹣1时函数y=g(x)取得极值, 故有g"(﹣1)=0即3﹣2a+1=0, 解得a=2 又g"(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1) 令g"(x)=0,得=﹣1,x2= 当x∈(﹣∞,﹣1)时,g"(x)>0,故g(x)在(﹣∞,﹣1)上为增函数 当时,g"(x)<0,故g(x)在(﹣1,﹣)上为减函数 当x∈(﹣)时,g"(x)>0,故g(x)在上为增函数. |
举一反三
已知曲线f(x)=x3+ax2+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为3,且是y=f(x)的极值点,则a+b=( ). |
函数y=f′(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y=f(x)在点p(x0,f(x0))处的切线为:l:y=g(x)=f′(x0)(x﹣x0)+f(x0),F(x)=f(x)﹣g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,且a<x0<b,那么 |
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[ ] |
A.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极大值点 B.F′(x0)=0,x=x0是F(x)的极小值点 C.F′(x0)≠0,x=x0不是F(x)极值点 D.F′(x0)≠0,x=x0是F(x)极值点 |
已知三次函数f(x)=ax3﹣x2+x在(0,+∞)存在极大值点,则a的范围是 |
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A. B. C. D. |
已知三次函数f(x)=ax3﹣x2+x在(0,+∞)存在极大值点,则a的范围是 |
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A. B. C. D. |
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点. (1)求b和c (2)求函数y=f(x)的解析式; (3)在d为整数时,求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程. |
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