已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点.(1)求b和c (2)求函
题型:河南省期末题难度:来源:
已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点. (1)求b和c (2)求函数y=f(x)的解析式; (3)在d为整数时,求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程. |
答案
解:(1)由题意可得:函数f(x)=x3+bx2+cx+d的导数为:f"(x)=3x2+2bx+c, 因为函数f(x)=x3+bx2+cx+d有两个极值点x1=1,x2=2, 所以3x2+2bx+c=0的两个根为x1=1,x2=2, 所以2b+c+3=0,并且4b+c+12=0, 解得:b=﹣,c=6. (2)设切点为(x0,y0), 由(1)可得:f"(x)=3x2﹣9x+6, 因为直线y=6x+1与曲线y=f(x)相切于P点, 所以f"(x0)=6,即x0=3或者x0=0, 当x0=3时,y0=19,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3x2+6x+. 当x0=0时,y0=1,所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x3x2+6x+1. (3)由题意可得:f(x)=x3x2+6x+1,并且P(0,1), 设切点的坐标为(x1,y1),所以==…①. 又因为f"(x)=3x2﹣9x+6,所以K切=3x12﹣9x1+6…②, 由①②可得:, 所以切点为(,),所以, 所以切线方程为15x﹣16y+16=0. 所以过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程为15x﹣16y+16=0. |
举一反三
已知函数f(x)=ex﹣bx (1)当b=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围; (3)当b>0时,讨论函数|f(x)|在区间(0,2)上是否存在极大值,若存在,求出极大值及相应实数b的取值范围. |
给出下列四个结论: ①“若am2<bm2则a<b”的逆命题为真; ②若f()为f(x)的极值,则f"()=0; ③函数f(x)=x﹣sinx(x∈R))有3个零点; ④对于任意实数x,有f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),且x>0时,f"(x)>0, g"(x)>0则x<0时f"(x)>g"(x) 其中正确结论的序号是( ). |
对于函数f(x)=x3+ax2-x+1的极值情况,4位同学有下列说法: 甲:该函数必有2个极值; 乙:该函数的极大值必大于1; 丙:该函数的极小值必小于1; 丁:方程f(x)=0一定有三个不等的实数根。 这四种说法中,正确的个数是 |
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 |
函数的图象如图所示,且在与处取得极值,则的值一定 |
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[ ] |
A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 小于或等于0 |
函数的极大值为 |
[ ] |
A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 |
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