已知函数f(x)=ex﹣bx(1)当b=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围;(3)当b>0时,讨论函数|f
题型:江苏省期末题难度:来源:
已知函数f(x)=ex﹣bx (1)当b=1时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围; (3)当b>0时,讨论函数|f(x)|在区间(0,2)上是否存在极大值,若存在,求出极大值及相应实数b的取值范围. |
答案
解:(I)当b=1时f(x)=ex﹣x, ∴f"(x)=ex﹣1, 令f"(x)=0,得x=0, f"(x),f(x)随x的变化情况如下表:
f(x)的单调递减区间为(﹣∞,0),单调递增区间为(0,+∞); (2)转化为y=ex与y=bx的图象只有一个交点 当b<0时,作出图象,发现满足要求; 当b≥0时,作出图象, 发现当且仅当y=ex与y=bx相切时有一个交点 设切点为(x,y),则 ,解得 所以,b<0或b=e (3)f(x)=ex﹣bx,f"(x)=ex﹣b,令f"(x)=ex﹣b=0,则x=lnb 当x∈(﹣∞,lnb)时,f"(x)=ex﹣b<0,所以f(x)递减; 当x∈(lnb,+∞)时,f"(x)=ex﹣b>0,所以f(x)递增; 所以,f(x)的最小值为f(lnb)=b﹣blnb=b(1﹣lnb) 当0<b≤e时,f(lnb)=b(1﹣lnb)≥0,所以f(x)=ex﹣bx≥0 ∴|f(x)|=f(x)=ex﹣bx, 此时,|f(x)|在(﹣∞,+∞)上无极大值,所以在(0,2)上无极大值 当b>e时,f(lnb)=b(1﹣lnb)<0, ∴ ,可得: 若b≥e2,则lnb≥2,此时|f(x)|在(0,2)上无极大值; 若b<e2,则lnb<2,此时|f(x)|在(0,2)上有极大值|f(lnb)|=b(lnb﹣1) 综上得:当0<b≤e或b≥e2时,|f(x)|在(0,2)上无极大值; 当e<b<e2时,|f(x)|在(0,2)上有极大值|f(lnb)|=b(lnb﹣1) |
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举一反三
给出下列四个结论: ①“若am2<bm2则a<b”的逆命题为真; ②若f()为f(x)的极值,则f"()=0; ③函数f(x)=x﹣sinx(x∈R))有3个零点; ④对于任意实数x,有f(﹣x)=﹣f(x),g(﹣x)=g(x),且x>0时,f"(x)>0, g"(x)>0则x<0时f"(x)>g"(x) 其中正确结论的序号是( ). |
对于函数f(x)=x3+ax2-x+1的极值情况,4位同学有下列说法: 甲:该函数必有2个极值; 乙:该函数的极大值必大于1; 丙:该函数的极小值必小于1; 丁:方程f(x)=0一定有三个不等的实数根。 这四种说法中,正确的个数是 |
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 |
函数的图象如图所示,且在与处取得极值,则的值一定 |
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A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 小于或等于0 |
函数的极大值为 |
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A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 |
函数的图象如图所示,且在与处取得极值,则的值一定 |
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A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 小于或等于0 |
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