已知函数f（x）=ax3+2bx2-3x的极值点是x=1和x=-1。（1）求a，b的值；（2）求过点A（1，-2）的曲线y=f（x）的切线方程。

题型：湖南省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点是x=1和x=-1。
（1）求a，b的值；
（2）求过点A（1，-2）的曲线y=f（x）的切线方程。

答案

解：（1）求导函数，可得f′（x）=3ax²+4bx-3
∵函数f（x）=ax³+2bx²-3x的极值点是x=1和x=-1。
∴f′（1）=f′（-1）=0  
∴，
∴a=1，b=0
此时f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
可知x=1和x=-1是函数f（x）=ax³+2bx2-3x的极值点；
（2）设切点为P（x₀，f（x₀） ），则f′（x0）=3x₀-3，
∴切线方程为 
即y=3（x₀-1）x+x₀³-3 
∵点A（1，-2）在切线上，
∴-2=3（x₀-1）+x₀³-3 
即x₀³-3 +3x₀-1=0
∴x₀=1，
∴切线方程是y=-2。