已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a． （1）求f（x）的单调区间和极值； （2）若方程f（x）=0有三个不等的实根，求实数a的取值范围．

题型：重庆市期末题难度：来源：

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若方程f（x）=0有三个不等的实根，求实数a的取值范围．

答案

解：（1）∵f（x）=﹣x³+3x²+9x+a，
∴f′（x）=﹣3x²+6x+9．    
  令f"（x）＞0，解得﹣1＜x＜3．
∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，3）．
令f"（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3．
∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），
∴f（x）_极小值=f（﹣1）=a﹣5，f（x）_极大值=f（3）=a+27；
（2）由（1）知若方程f（x）=0，有三个不等的实根，
则
解得﹣27＜a＜5．
所以a 的取值范围是（﹣27，5）