已知函数f(x)=x3+mx2﹣m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9.(Ⅰ)求m的值; (Ⅱ)若斜率为﹣5的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直线方程.

已知函数f(x)=x3+mx2﹣m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9.(Ⅰ)求m的值; (Ⅱ)若斜率为﹣5的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直线方程.

题型:安徽省期中题难度:来源:
已知函数f(x)=x3+mx2﹣m2x+1(m为常数,且m>0)有极大值9.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)若斜率为﹣5的直线是曲线y=f(x)的切线,求此直线方程.
答案

解:(Ⅰ)f ’(x)=3x2+2mx﹣m2=(x+m)(3x﹣m)=0,则x=﹣m或x=m, 当x变化时, 
f ’(x)与f(x)的变化情况如下表:

从而可知,
当x=﹣m时,函数f(x)取得极大值9,即f(﹣m)=﹣m3+m3+m3+1=9,
∴m=2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x3+2x2﹣4x+1,
依题意知f’(x)=3x2+4x﹣4=﹣5,
∴x=﹣1或x=﹣
又f(﹣1)=6,f(﹣)=
所以切线方程为y﹣6=﹣5(x+1),或y﹣=﹣5(x+),5x+y﹣1=0,
或135x+27y﹣23=0.

举一反三
已知函数f(x)=ex+2x2﹣3x.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求证函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点;
(3)当时,若关于x的不等式恒成立,试求实数a的取值范围.
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函数y=2﹣x2﹣x3有  [     ]
A.极小值﹣,极大值0
B.极小值﹣,极大值3
C.极小值,极大值3
D.极小值,极大值2
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设函数f(x)=﹣x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值.xOy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、(x2,f(x2)),该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线y=2(x﹣4)的对称点.求
(I)求点A、B的坐标;
(II)求动点Q的轨迹方程.
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函数y=x+的极值情况是[     ]
 A.有极大值2,极小值﹣2 
 B.有极大值1,极小值﹣1  
C.无极大值,但有极小值﹣2  
D.有极大值2,无极小值
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函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1时有极值10,那么a,b的值分别为(    )
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