已知函数f(x)=x3-3ax2-3a2+a(a>0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)上有两点A(m,f(m))、B(n,f(n))处
题型:山东省期末题难度:来源:
已知函数f(x)=x3-3ax2-3a2+a(a>0). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若曲线y=f(x)上有两点A(m,f(m))、B(n,f(n))处的切线都与y轴垂直,且函数y=f(x)在区间[m,n]上存在零点,求实数a的取值范围. |
答案
解:(1)f′(x)=3x2﹣6ax=3x(x﹣2a). 令f′(x)=0,得x1=0,x2=2a 列表如下:
由上表可知,函数f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0),(2a,+∞); 单调递减区间为(0,2a). (2)由(1)可知,m=0,n=2a且在x=0,x=2a处分别取得极值. f(0)=﹣3a2+a,f(2a)=﹣4a3﹣3a2+a. 由已知得函数y=f(x)在区间[0,2a]上存在零点, ∴f(0)×f(2a)≤0即(﹣3a2+a)(﹣4a3﹣3a2+a)≤0 ∴a2(3a﹣1)(4a﹣1)(a+1)≤0 ∵a>0 ∴(3a﹣1)(4a﹣1)≤0, 解得≤a≤故实数a的取值范围是[,]. |
举一反三
在R上可导的函数f(x)=,当x∈(0,1)时取得极大值.当x∈(1,2)时取得极小值,则的取值范围是 |
[ ] |
A. B. C. D. |
已知f(x)=ex-ax在x=0时有极值,则a=( )。 |
已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a. (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)若方程f(x)=0有三个不等的实根,求实数a的取值范围. |
已知函数(m、n为常数). (1)若f(x)在x=1和x=3处取得极值,试求m,n的值; (2)若f(x)在(﹣∞,x1)、(x2,+∞)上单调递增,且在(x1,x2)上单调递减,又满足x2﹣x1>1.求证:m2>2(m+2n). |
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则f(2)等于( ) |
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