已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，且知当x=-1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，试求函数f（x）的极小值，并求a、b、c的值。

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已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，且知当x=-1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，试求函数f（x）的极小值，并求a、b、c的值。

答案

解：f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+6，
∵x=-1时函数取得极大值，x=3时函数取得极小值，
∴-1，3是方程f′（x）=0的根，即为方程3x²+2ax+b=0 的两个根，
由一元二次方程根与系数的关系有
，
∴
∴f（x）=x³-3x²-9x+c，
∵x=-1时取得极大值7，
∴（-1）³-3（-1）²-9（-1）+c=7，
∴c=2，
∴函数f（x）的极小值为f（3）=3³-3×3²-9×3+2=-25。