解:(Ⅰ)因为,x>0,则,
当0<x<1时,f′(x)>0;当x>1时,f′(x)<0,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以函数f(x)在x=1处取得极大值,
因为函数f(x)在区间(a,a+)(其中a>0)上存在极值,
所以;
(Ⅱ)不等式,
即为,
记,
所以,
令,
∵x≥1,
∴,
∴h(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴,
从而g′(x)>0,
故g(x)在[1,+∞)上也单调递增,
∴,
所以k≤2。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:恒成立,
即,
令x=n(n+1),
则,
所以,
,
,
………… ……
,
叠加得:
,
则,
所以。
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