已知函数f(x)=ax2-2x+lnx,(Ⅰ)若f(x)无极值点,但其导函数f′(x)有零点,求a的值;(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(
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已知函数f(x)=ax2-2x+lnx,(Ⅰ)若f(x)无极值点,但其导函数f′(x)有零点,求a的值;(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(
题型:0124 期末题
难度:
来源:
已知函数f(x)=ax
2
-2x+lnx,
(Ⅰ)若f(x)无极值点,但其导函数f′(x)有零点,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求a的取值范围,并证明f(x)的极小值小于
。
答案
解:(Ⅰ)
,
f′(x)有零点而f(x)无极值点,
表明该零点左右f′(x)同号,故a≠0,且
的△=0,
由此可得
;
(Ⅱ)由题意,
有两不同的正根,
故△>0,a>0,解得:
;
设
的两根为
,
因为在区间
均有f′(x)>0,而在区间
上,f′(x)<0,
故x
2
是f(x)的极小值点,
∴
,
∴
,
由
,
∴
,
构造函数
,
,
∴
,
∴f(x)的极小值
。
举一反三
函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图像如图所示,则函数f(x)在(a,b)内有极小值点的个数为
[ ]
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
题型:北京期末题
难度:
|
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设x
1
、x
2
(x
1
≠x
2
)是函数f(x)=ax
3
+bx
2
-a
2
x(a>0)的两个极值点,
(Ⅰ)若x
1
=-1,x
2
=2,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若|x
1
|+|x
2
|=2
,求b的最大值;
(Ⅲ)设函数g(x)=f′(x)-a(x-x
1
),x∈(x
1
,x
2
),当x
2
=a时,求|g(x)|的最大值。
题型:浙江省月考题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+a
2
在x=1处有极值为10,则f(2)=
[ ]
A.13或18
B.12或18
C.11或18
D.10或18
题型:贵州省月考题
难度:
|
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已知x=1是函数f(x)=mx
3
-3(m+1)x
2
+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m<0。
(Ⅰ)求m与n的关系表达式;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围。
题型:北京期中题
难度:
|
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知函数f(x)=lnx-a
2
x
2
+ax(a∈R)。
(1)若函数f(x)在区间(1,+∞)上是单调减函数,求实数a的取值范围;
(2)讨论f(x)的极值。
题型:重庆市月考题
难度:
|
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