某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成

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某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比。已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件。
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

答案

解：（1）设商品降价x元，则多卖的商品数为

，若记商品在一个星期的获利为

则依题意有

又由已知条件，

于是有

所以

。
（2）根据（1），我们有

故当x=12时，f（x）达到极大值
因为f（0）=9072，f（12）=11264，
所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大。

举一反三

f（x）=-cos²x-4tsin

cos

+4t³+t²-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）。
（1）求g（t）的表达式；
（2）讨论g（t）在区间（-1，1）内的单调性并求极值。

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已知函数f（x）=

（c＞0且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c。（1）求函数f（x）的另一个极值点；
（2）求函数f（x）的极大值M和极小值m，并求M-m≥1时k的取值范围。

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已知函数

有三个极值点。
（1）证明：-27＜c＜5；
（2）若存在实数c，使函数f（x）在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围。

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已知a，b，c∈R，且三次方程f(x)=x³-ax²+bx-c=0有三个实根x₁，x₂，x₃，
(Ⅰ)类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；
(Ⅱ)若a，b，c均大于零，试证明：x₁，x₂，x₃都大于零；
(Ⅲ)若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f(x)在x=α，x=β处取得极值，且-1＜α＜0＜β＜1，试求此方程三个根两两不等时c的取值范围。

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设x=1和x=2是函数f（x）=x⁵+ax³+bx+1的两个极值点，
(Ⅰ)求a、b的值；
(Ⅱ)求f（x）的单调区间。

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