设函数f(x)=2x3-3(a+3)x2+18ax-8a,x∈R。(1)当a=-1时,求函数f(x)的极值;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,求实
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设函数f(x)=2x3-3(a+3)x2+18ax-8a,x∈R。 (1)当a=-1时,求函数f(x)的极值; (2)若函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,求实数a的取值范围; (3)当方程f(x)=0有三个不等的正实数解时,求实数a的取值范围。 |
答案
解:f"(x)=6x2-6(a+3)x+18a=6(x-3)(x-a) (1)当a=-1时,f"(x)=6(x-3)(x+1) 令f"(x)>0,得x<-1或x>3 所以f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调递增, 在(-1,3)上单调递减, 当x=-1时,f(x)极大=f(-1)=18 当x=3时,f(x)极小=f(3)=-46。 (2)依题意:f"(x)=6[x2-(a+3)x+3a]≤0在x∈[1,2] 恒成立 因x∈[1,2],3-x>0, 故在x∈[1,2]恒成立, 所以a≤xmin=1。 (3)显然,x=3或x=a是极值点, 依题意,当方程f(x)=0有三个不等的正实数解时,有:
即 ∴或a>8为所求。 |
举一反三
已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值。 (1)求实数a的值; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若关于x的方程f(x)=x+b在区间(0,2)有两个不等实根,求实数b的取值范围。 |
已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是 |
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A.-1<a<2 B.a<-3或a>6 C.-3<a<6 D.a<-1或a>2 |
函数y=f"(x)是函数y=f(x)的导函数,且函数y= f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y= g(x)=f"(x0)·(x-x0)+ f(x0),F(x)=f(x)-g(x),如果函数y=f(x)在区间[a,b] 上的图象如图所示,且a<x0<b,那么 |
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A.f"(x0)=0,x=x0是F(x)的极大值点 B.f"(x0)=0,x=x0是F(x)的极小值点 C.f"(x0)≠0,x=x0不是F(x)的极值点 D.f"(x0)≠0,x=x0是F(x)的极值点 |
已知函数f(x)=-x3-2mx2-m2x+1-m(其中m>-2)在点x=1处取得极值, (1)求实数m的值; (2)求函数f(x)在区间[0,1]上的最小值; (3)若a≥0,b≥0,c≥0,且a+b+c=1,证明不等式。 |
已知函数f(x)=x3-x2-2a2x+1(a>0)。 (1)求函数f(x)的极值; (2)若函数y=f(x)的图象与直线y=0恰有三个交点,求实数a的取值范围。 (3)已知不等式f′(x)<x2-x+1对任意a∈(1,+∞)都成立,求实数x的取值范围。 |
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