已知函数f(x)=ax-lnx(I)当a=1时,求f(x)的最小值;(Ⅱ)当a>0时,求f(x)在[1,e]上的最大值与最小值.
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已知函数f(x)=ax-lnx (I)当a=1时,求f(x)的最小值; (Ⅱ)当a>0时,求f(x)在[1,e]上的最大值与最小值. |
答案
(I)当a=1时,f(x)=x-lnx(x>0), f′(x)=1-=. 当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=1时f(x)取得极小值,也是最小值为f(1)=1. (II)由f(x)=ax-lnx(x>0). 则f′(x)=a-=. 由f′(x)>0,得x>,由f′(x)<0,得0<x<. 所以f(x)在(0,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数. 当0<a≤时,fmin=f(e)=ae-1,=f(1)=a. 当<a≤时,fmin=f()=1+lna,=f(1)=a. 当<a<1时,fmin=f()=1+lna,=f(e)=ae-1. 当a≥1时,fmin=f(1)=a,=f(e)=ae-1. |
举一反三
某厂生产产品x件的总成本c(x)=x3(万元),已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:P2=,生产1件这样的产品单价为16万元. (1)设产量为x件时,总利润为L(x)(万元),求L(x)的解析式; (2)产量x定为多少件时总利润L(x)(万元)最大? |
已知函数f(x)=-x3+ax2-4,(a∈R) (Ⅰ)若y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为,求a; (Ⅱ)设f(x)的导函数是f′(x),在(Ⅰ)的条件下,若m,n∈[-1,1],求f(m)+f′(n)的最小值. (Ⅲ)若存在x0∈(0,+∞),使f(x0)>0,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=x2-2lnx+a(a为实常数). (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[,2]上的最大值与最小值. |
已知函数f(x)=x. (1)求x0,使f′(x0)=0; (2)求函数f(x)在区间[-1,]的值域. |
如果函数f(x)在x=x0处取得极值,则点(x0,f(x0))称为函数f(x)的一个极值点.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0,a,b,c,d∈R)的一个极值点恰为坐标系原点,且y=f(x)在x=1处的切线方程为3x+y-1=0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在[-2,2]上的值域. |
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