(1)∵f(X)=x3-(2a-1)x2+[a2-a-f(a)]x+b(a,b∈R) ∴f′(x)=x2-(2a-1)x+a2-a-f′(a), ∴f′(a)=a2-(2a-1)a+a2-a-f′(a), ∴f"(a)=0. (2)∵f(X)=x3-(2a-1)x2+[a2-a-f(a)]x+b(a,b∈R) ∴f′(x)=x2-(2a-1)x+a2-a-f′(a), ∴f′(a)=a2-(2a-1)a+a2-a-f′(a), ∴f′(a)=0. ∴f′(x)=x2-(2a-1)x+(a2-a)=[x-(a-1)](x-a), 令f′(x)>0,得x<a-1,或x>a;令f′(x)<0,得a-1<x<a, ∴f(x)在(-∞,a-1]上单调递增,在[a-1,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增, ∵0≤a≤1,∴f(x)在x∈[0,1]上的最小值为f(a)=a3-a2+b, ∴a3-a2+b>1在a∈[0,1]上恒成立. 即b>-a3+a2+1在a∈[0,1]上恒成立, 令g(x)=-x2+x2+1(0≤x≤1), 则g′(x)=-x2+x=-x(x-1)≥0, ∴g(x)在x∈[0,1]上单调递增, ∴1≤g(x)≤, ∴b>. |