(Ⅰ)∵f(x)=xex, ∴f′(x)=(x+1)ex, ∴曲线f(x)在点(x0,x0ex0)处的切线的斜率k=f′(x0)=(x0+1)ex0, 由点斜式写出切线方程为y-x0ex0=(x0+1)ex0(x-x0),即y=(x0+1)ex0x-x02ex0. (Ⅱ)(1)如果切线过点(a,b),则存在x0,使b=(x0+1)ex0a-x02ex0. 于是,若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,则方程(x02-ax0-a)ex0+b=0有三个相异的实数根. 记g(x0)=(x02-ax0-a)ex0+b,则g"(x0)=[x02+(2-a)x0-2a]ex0, 令g"(x0)=0,解得x0=-2,或x0=a∈(-2,0) 当x0∈(-∞,-2),(a,+∞)时g"(x0)>0, 当x0∈(-2,a)时g"(x0)<0, ∴当x0=-2时,g(x0)取极大值,当x0=a时,g(x0)取极小值, 如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线,即g(x0)=0有三个相异的实数根,则 即,则, 即-(a+4)<b<f(a); (2)令g"(x0)=0,解得x0=-2,或x0=a∈(-∞,-2) 当x0∈(-∞,a),(-2,+∞)时g"(x0)>0, 当x0∈(a,-2)时g"(x0)<0, ∴当x0=a时,g(x0)取极大值,当x0=-2时,g(x0)取极小值, 如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线,即g(x0)=0有三个相异的实数根,则 即f(a)<b<-(a+4). |