设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0).(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点
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设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点. |
答案
(Ⅰ)f′(x)=3x2-3a, ∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切, ∴⇒⇒
(Ⅱ)∵f′(x)=3(x2-a)(a≠0), 当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点. 当a>0时,由f′(x)=0⇒x=±, 当x∈(-∞,-)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x∈(-,)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减, 当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增, ∴此时x=-是f(x)的极大值点,x=是f(x)的极小值点. |
举一反三
统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y=x3-x+8(0<x<120). (1)当x=64千米/小时时,要行驶100千米耗油量多少升? (2)若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米? |
已知f(x)=-ax2+x-ln(1+x),其中a>0. (1)若x=3是函数f(x)的极值点,求a的值; (2)求f(x)的单调区间; (3)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围. |
函数y=x3-x我-x+1在闭区间[-1,1]上的最8值是( ) |
定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+2同时满足以下条件: ①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数; ②f′(x)是偶函数; ③f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直. (Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式; (Ⅱ)设g(x)=[x3-f(x)]•ex,求函数g(x)在[m,m+1]上的最小值. |
已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值. |
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