已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;(2)

已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;(2)

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已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;
(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值.
答案
(1)f(x)=ax2+1(a>0),则f"(x)=2ax,k1=2a,g(x)=x3+bx,则g′(x)=3x2+b,k2=3+b,
由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b ①
又f(1)=a+1,g(1)=1+b,
∴a+1=1+b,即a=b,代入①式可得:





a=3
b=3

(2)由题设a2=4b,设h(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+
1
4
a2x+1

h′(x)=3x2+2ax+
1
4
a2
,令h"(x)=0,解得:x1=-
a
2
x2=-
a
6

∵a>0,∴-
a
2
<-
a
6

举一反三
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x(-∞,-
a
2
-
a
2
(-
a
2
,-
a
6
)
-
a
6
(-
a
6
,+∞
h′(x)+-+
h(x)极大值极小值
已知函数f(x)=eax-x,其中a≠0.
(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)(x1<x2),记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)>k成立?若存在,求x0的取值范围;若不存在,请说明理由.
已知函数f1(x)=
1
2
x2,f2(x)=alnx(其中a>0).
(Ⅰ)求函数f(x)=f1(x)•f2(x)的极值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f1(x)-f2(x)+(a-1)x在区间(
1
e
,e)内有两个零点,求正实数a的取值范围;
(Ⅲ)求证:当x>0时,1nx+
3
4x2
-
1
ex
>0.(说明:e是自然对数的底数,e=2.71828…)
已知函数f(x)=
lnx
a
-x

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与X轴平行,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对一切正数x,都有f(x)≤-1恒成立,求a的取值集合.
已知函数f(x)=a(lnx-x)(a∈R).
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,函数g(x)=x3+x2[
m
2
+f′(x)]
在区间(2,3)上总存在极值,求实数m的取值范围.
设函数f(x)=xsinx在x=x0处取得极值,则(1+x02)cos2x0的值为(  )
A.0B.1C.2D.3