(Ⅰ)∵f′(x)=-1, ∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=-1, 依题意-1=0,解得a=1, ∴f(x)=lnx-x,f′(x)=-1, 当0<x<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 所以函数f(x)的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+∞); (Ⅱ)若a<0,因为此时对一切x∈(0,1),都有>0,x-1<0,所以>x-1,与题意矛盾, 又a≠0,故a>0,由f′(x)=-1,令f′(x)=0,得x=. 当0<x<时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 所以f(x)在x=处取得最大值ln-, 故对∀x∈R+,f(x)≤-1恒成立,当且仅当对∀a∈R+,ln-≤-1恒成立. 令=t,g(t)=tlnt-t,t>0.则g′(t)=lnt, 当0<t<1时,g′(t)<0,函数g(t)单调递减;当t>1时,g′(t)>0,函数g(t)单调递增; 所以g(t)在t=1处取得最小值-1, 因此,当且仅当=1,即a=1时,ln-≤-1成立. 故a的取值集合为{1}. |