已知函数f(x)=x3-2x,其中a-1≤x≤a+1,a∈R,设集合M={(m,f(n))|m,n∈[a-1,a+1]|},若f(x)单调递增,则S的最小值为_
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x3-2x,其中a-1≤x≤a+1,a∈R,设集合M={(m,f(n))|m,n∈[a-1,a+1]|},若f(x)单调递增,则S的最小值为______. |
答案
f(x)=x3-2x=x(x2-2)=0∴x=-或0或 ∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. ∀0<x1<x2f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-2)>(x1-x2)(3x12-2) 当x>=时,f(x1)-f(x2)>0,f(x)单调递增. 由对称性画出草图n∈[a-1,a+1] ∵1<<2, ∴m∈[a-1,a+1],f(n)为n∈[a-1,a+1]时的值域的长度d.要使f(n)的值域最小当a-1<-<<a+1时f(n)的值域最小,则d=f(-)-f()=S=2d=, 故答案为.
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举一反三
已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+alnx. (Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值; (Ⅲ)设g(x)=(1-a)x,若存在x0∈[,e],使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=ex,直线l的方程为y=kx+b. (1)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:f(x)≥kx+b对任意x∈R成立; (2)若f(x)≥kx+b对任意x∈R成立,求实数k、b应满足的条件. |
已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数). (1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值; (3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+ax2+2(a∈R)且曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0. 求:(Ⅰ)a的值; (Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值. |
已知函数f(x)=x2+2x+a•lnx. (1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围; (2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围. |
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