已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的
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已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数). (1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值; (3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)当a=-2时,f(x)=x2-2lnx,当x∈(1,+∞),f′(x)=>0, (2)f′(x)=(x>0),当x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2]. 若a≥-2,f"(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f"(x)=0),故函数f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1. 若-2e2<a<-2,当x=时,f"(x)=0; 当1≤x<时,f"(x)<0,此时f(x)是减函数; 当<x≤e时,f"(x)>0,此时f(x)是增函数. 故[f(x)]min=f()=ln(-)-. 若a≤-2e2,f"(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f"(x)=0), 故函数f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e2. 综上可知,当a≥-2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1;当-2e2<a<-2时,f(x) 的最小值为ln(-)-,相应的x值为;当a≤-2e2时,f(x)的最小值为a+e2, 相应的x值为e. (3)不等式f(x)≤(a+2)x,可化为a(x-lnx)≥x2-2x. ∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x且等号不能同时取,所以lnx<x,即x-lnx>0, 因而a≥(x∈[1,e]) 令g(x)=(x∈[1,e]),又g′(x)=, 当x∈[1,e]时,x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0, 从而g"(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在[1,e]上为增函数, 故g(x)的最小值为g(1)=-1,所以a的取值范围是[-1,+∞). |
举一反三
已知函数f(x)=x3+ax2+2(a∈R)且曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0. 求:(Ⅰ)a的值; (Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值. |
已知函数f(x)=x2+2x+a•lnx. (1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围; (2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围. |
若实数a,b,c,d满足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( ) |
已知函数f(x)=px--2lnx. (Ⅰ)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围; (Ⅲ)设函数g(x)=,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围. |
已知函数f(x)=x3-ax2+(a>0) (1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间; (II)求证:曲线y=f(x)总有斜率为a的切线; (III)若存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,求a的取值范围. |
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