已知函数f(x)=x2+2x+a•lnx.(1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围;(2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(
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已知函数f(x)=x2+2x+a•lnx. (1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围; (2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)由f(x)=x2+2x+a•lnx,得f′(x)=2x+2+, 要使f(x)在(0,1]上恒为单调函数,只需f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1]上恒成立. ∴只需a≥-(2x2+2x),或a≤-(2x2+2x)在(0,1]上恒成立. 记g(x)=-(2x2+2x), ∵0<x≤1, ∴-4≤g(x)<0, ∴a≤-4,或a≥0.(5分) (2)∵f(x)=x2+2x+a•lnx, ∴由f(2t-1)≥2f(t)-3,得 (2t-1)2+2(2t-1)+a•ln(2t-1)≥2(t2+2t+alnt)-3, 化简得2(t-1)2≥a•ln, ∵t>1时有t2>2t-1>0,即>1, 则ln>0,∴a≤,①-------------(7分) 构造函数h(x)=ln(x+1)-x,x>-1,则h′(x)=-1=-, ∴h(x)在x=0处取得极大值,也是最大值. ∴h(x)≤h(0)在x>-1范围内恒成立,而h(0)=0, 从而ln(1+x)≤x在x>-1范围内恒成立. ∴在t>1时,ln=ln[1+≤<(t-1)2, 而t=1时,ln=(t-1)2=0, ∴当t≥1时,ln≤(t-1)2恒成立, 即t≥1时,总有,② 由式①和式②可知,实数a的取值范围是a≤2.(12分) |
举一反三
若实数a,b,c,d满足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( ) |
已知函数f(x)=px--2lnx. (Ⅰ)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围; (Ⅲ)设函数g(x)=,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围. |
已知函数f(x)=x3-ax2+(a>0) (1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间; (II)求证:曲线y=f(x)总有斜率为a的切线; (III)若存在x∈[-1,2],使f(x)<0成立,求a的取值范围. |
已知f(x)=x2-2x+3,在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是______. |
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值4,其导函数y=f′(x)的图象经过点(0,0),(2,0),如图, (1)求a,b,c的值; (2)若x∈[-1,1],求f(x)的最大值和最小值.
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