若实数a，b，c，d满足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（　　）A．2B．2C．22D．8

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若实数a，b，c，d满足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（　　）

A．

B．2

C．2

D．8

答案

∵实数a、b、c、d满足：
（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b+a²-3lna=0，设b=y，a=x，
则有：y=3lnx-x²
c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+2之间的最小距离的平方值
对曲线y=3lnx-x²求导：y"（x）=

-2x，
与y=x+2平行的切线斜率k=1=

-2x，
解得：x=1或x=-

（舍）
把x=1代入y=3lnx-x²，得：y=-1，
即切点为（1，-1）
切点到直线y=x+2的距离：

|1+1+2|

∴（a-c）²+（b-d）²的最小值就是8．
故选：D．

举一反三

已知函数f(x)=px-

-2lnx．
（Ⅰ）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g(x)=

，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

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已知函数f（x）=

x3-

ax2+

(a＞0)
（1）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；
（II）求证：曲线y=f（x）总有斜率为a的切线；
（III）若存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，求a的取值范围．

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已知f（x）=x²-2x+3，在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是______．

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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值4，其导函数y=f′（x）的图象经过点（0，0），（2，0），如图，
（1）求a，b，c的值；
（2）若x∈[-1，1]，求f（x）的最大值和最小值．

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已知函数f(x)=x2+

，g(x)=(

)x+m，若∀x₁∈[1，2]，∃x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）≥g（x₂），则实数m的取值范围是______．

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若实数a，b，c，d满足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（ ）A．2B．2C．22D．8