已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在点x0处取得极大值4，其导函数y=f′（x）的图象经过点（0，0），（2，0），如图，（1）求a，b，c的值；（2）若x

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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值4，其导函数y=f′（x）的图象经过点（0，0），（2，0），如图，
（1）求a，b，c的值；
（2）若x∈[-1，1]，求f（x）的最大值和最小值．

答案

（1）f′（x）=3ax²+2bx+c
由导函数的图象知，f（x）在（-∞，0）和（2，+∞）递减；在（0，2）上递增
所以当x=2时取得极大值
所以有

c=0

12a+4b+c=0

8a+4b+2c=4

解得a=-1，b=3，c=0
（2）由（1）知，f（x））=-x³+3x²，且函数在x=0处有极小值
因为f（0）=0；f（-1）=4，f（1）=2
所以f（x）的最大值4；最小值为0．

举一反三

已知函数f(x)=x2+

，g(x)=(

)x+m，若∀x₁∈[1，2]，∃x₂∈[-1，1]，使得f（x₁）≥g（x₂），则实数m的取值范围是______．

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已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x-y+1=0，当x=

时，y=f（x）有极值．
（1）求a、b、c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

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已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）求函数g（x）=f（x）-ax²-x的单调区间及最大值；
（2）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
（3）求证：(1+

)(1+

)…(1+

)＜e
参考导数公式：(ln(x+1))′=

x+1

．

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现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失．如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x（cm），高为y（cm），体积为V（cm³）
（1）求出x与y的关系式；
（2）求该铁皮盒体积V的最大值．

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设函数f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函数f（x）在x=1处与直线y=-

相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[

，e]上的最大值．

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