现有一张长为80cm,宽为60cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形ABCD的一

现有一张长为80cm,宽为60cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形ABCD的一

题型:不详难度:来源:
现有一张长为80cm,宽为60cm的长方形铁皮ABCD,准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,若长方形ABCD的一个角剪下一块铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面,设长方体的底面边长为x(cm),高为y(cm),体积为V(cm3
(1)求出x与y的关系式;
(2)求该铁皮盒体积V的最大值.
答案
(1)由题意得x2+4xy=4800,
y=
4800-x2
4x
,0<x<60.(6分)
(2)铁皮盒体积V(x)=x2y=x2
4800-x2
4x
=-
1
4
x3+1200x
,(10分)
V′(x)=-
3
4
x2+1200
,令V′(x)=0,得x=40,(12分)
因为x∈(0,40),V′(x)>0,V(x)是增函数;x∈(40,60),V"(x)<0,V(x)是减函数,
所以V(x)=-
1
4
x3+1200x
,在x=40时取得极大值,也是最大值,其值为32000cm3
答:该铁皮盒体积V的最大值是32000cm3.(14分)
举一反三
设函数f(x)=alnx-bx2(x>0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-
1
2
相切.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)在[
1
e
,e]上的最大值.
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某出版社出版一读物,一页上所印文字占去150cm2,上、下要留1.5cm空白,左、右要留1cm空白,出版商为节约纸张,应选用怎样的尺寸的页面?
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某地方政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区,已知AB⊥BC,OABC,且AB=BC=6km,AO=3km,曲线段OC是二次函数y=ax2图象的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在AB,BC上,且一个顶点落在曲线段OC上,问应如何规划才能使矩形工业园区BQPN的用地面积最大?并求出最大的用地面积.
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如图,A,B是函数y=ax(a>1)在y轴右侧图象上的两点,分别过A,B作y轴的垂线与y轴交于E,F两点,与函数y=ex的图象交于C,D两点,且A是CE的中点.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)当直线BC与y轴平行时,设B点的横坐标为x,四边形ABDC的面积为f(x),求f(x)的解析式;
(Ⅲ)若对任意的正数b,关于x的不等式
2f(x)
ex-1
3exln
xb
em
在区间[1,e]上恒成立,求实数m的取值范围.
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已知:函数f(x)=x3-6x+5,x∈R,
(1)求:函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有3个不同实根,求:实数a的取值范围;
(3)当x∈(1,+∞)时,f(x)≥k(x-1)恒成立,求:实数k的取值范围.
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