已知函数f(x)=ex,直线l的方程为y=kx+b.(1)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:f(x)≥kx+b对任意x∈R成立;(2)若f(x)≥kx+b
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ex,直线l的方程为y=kx+b. (1)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:f(x)≥kx+b对任意x∈R成立; (2)若f(x)≥kx+b对任意x∈R成立,求实数k、b应满足的条件. |
答案
(1)证明:∵f"(x)=ex 记切点为T(t,et), ∴切线l的方程为y-et=et(x-t) 即y=etx+et(1-t)(3分) ∴. 记函数F(x)=f(x)-kx-b, ∴F(x)=ex-etx-et(1-t) ∴F"(x)=ex-et ∴F(x)在x∈(-∞,t)上为减,在x∈(t,+∞)为增 故Fmin(x)=F(t)=et-ett-et(1-t)=0 故F(x)=f(x)-kx-b≥0 即f(x)≥kx+b对任意x∈R成立(7分) (2)∵f(x)≥kx+b对任意x∈R成立, 即ex≥kx+b对任意x∈R成立 ①当k<0时,取x0=<0, ∴ex0<e0=1,而kx0+b=|b|+1+b≥1 ∴ex1<kx1+b, ∴k<0不合题意. ②当k=0时,若b≤0,则ex≥kx+b对任意x∈R成立 若b>0取x1=ln, ∴ex1=,而kx1+b=b ∴ex0<kx0+b, ∴k=0且b>0不合题意, 故k=0且b≤0不合题意(10分) ③当k>0时, 令G(x)=ex-kx-b,G"(x)=ex-k,由G"(x)=0,得x=lnk, 所以G(x)在(-∞,lnk)上单减,(lnk,+∞)单增 故G(x)≥G(lnk)=k-klnk-b≥0 ∴(13分) 综上所述:满足题意的条件是或(14分 |
举一反三
已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数). (1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值; (3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=x3+ax2+2(a∈R)且曲线y=f(x)在点(2,f(2))处切线斜率为0. 求:(Ⅰ)a的值; (Ⅱ)f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值. |
已知函数f(x)=x2+2x+a•lnx. (1)若函数f(x)在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数a的取值范围; (2)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围. |
若实数a,b,c,d满足(b+a2-3lna)2+(c-d+2)2=0,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为( ) |
已知函数f(x)=px--2lnx. (Ⅰ)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围; (Ⅲ)设函数g(x)=,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围. |
最新试题
热门考点