已知函数f(x)=a(lnx-x)(a∈R).(I)讨论函数f(x)的单调性;(II)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,函数
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已知函数f(x)=a(lnx-x)(a∈R).(I)讨论函数f(x)的单调性;(II)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,函数
题型:不详
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已知函数f(x)=a(lnx-x)(a∈R).
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,函数g(x)=
x
3
+
x
2
[
m
2
+f′(x)]
在区间(2,3)上总存在极值,求实数m的取值范围.
答案
(I)易知f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=
a(1-x)
x
,
当a<0时,令f′(x)=
a(1-x)
x
>0,即
1-x
x
<0,解得增区间为(1,+∞),
减区间为(0,1);
当a>0时,令f′(x)=
a(1-x)
x
>0,即
1-x
x
>0,解得增区间为(0,1),减区间为(1,+∞),
当a=0时,f(x)不是单调函数;
(II)∵函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,
∴f′(2)=
a(1-2)
2
=tan45°=1,
∴a=-2,
f′(x)=
-2(1-x)
x
=
2(x-1)
x
,
g(x)=x
3
+x
2
(
m
2
+
2(x-1)
x
)=x
3
+(
m
2
+2)x
2
-2x,
g′(x)=3x
2
+(m+4)x-2,
∵g′(0)=-2<0,要使函数g(x)=x
3
+x
2
[
m
2
+f′(x)]在区间(2,3)上总存在极值,
只需
g′(2)<0
g′(3)>0
,
解得-
37
3
<m<-9;
举一反三
设函数f(x)=xsinx在x=x
0
处取得极值,则(1+x
0
2
)cos
2
x
0
的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
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已知函数f(x)=x
3
-2x,其中a-1≤x≤a+1,a∈R,设集合M={(m,f(n))|m,n∈[a-1,a+1]|},若f(x)单调递增,则S的最小值为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
-(2a+1)x+alnx.
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值;
(Ⅲ)设g(x)=(1-a)x,若存在
x
0
∈[
1
e
,e]
,使得f(x
0
)≥g(x
0
)成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
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已知函数f(x)=e
x
,直线l的方程为y=kx+b.
(1)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:f(x)≥kx+b对任意x∈R成立;
(2)若f(x)≥kx+b对任意x∈R成立,求实数k、b应满足的条件.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=alnx+x
2
(a为实常数).
(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数;
(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
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|
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