已知函数f(x)=x2+lnx.(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;(2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)=23x3+1
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已知函数f(x)=x2+lnx.(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;(2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)=23x3+1
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=x
2
+lnx.
(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象在g(x)=
2
3
x
3
+
1
2
x
2
的下方.
答案
(1)∵f(x)=x
2
+lnx,∴f′(x)=2x+
1
x
,
∵x>1时,f′(x)>0,
∴f(x)在[1,e]上是增函数,
∴f(x)的最小值是f(1)=1,最大值是f(e)=1+e
2
;
(2)证明:令F(x)=f(x)-g(x)=
1
2
x
2
-
2
3
x
3
+lnx,
则F′(x)=x-2x
2
+
1
x
=
x
2
-2
x
3
+1
x
=
x
2
-
x
3
-
x
3
+1
x
=
(1-x)(2
x
2
+x+1)
x
,
∵x>1,∴F′(x)<0,∴F(x)在(1,+∞)上是减函数,
∴F(x)<F(1)=
1
2
-
2
3
=-
1
6
<0,即f(x)<g(x),
∴当x∈(1,+∞)时,函数f(x)的图象总在g(x)的图象下方.
举一反三
设函数f(x)=x
3
-3ax+b(a≠0).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值点.
题型:不详
难度:
|
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统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为
y=
1
128000
x
3
-
3
80
x+8(0<x<120)
.
(1)当x=64千米/小时时,要行驶100千米耗油量多少升?
(2)若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米?
题型:不详
难度:
|
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已知
f(x)=-
1
2
a
x
2
+x-ln(1+x)
,其中a>0.
(1)若x=3是函数f(x)的极值点,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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函数y=x
3
-x
我
-x+1在闭区间[-1,1]上的最8值是( )
A.
32
27
B.
26
27
C.0
D.-
32
27
题型:不详
难度:
|
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定义在R上的函数
f(x)=
1
3
a
x
3
+b
x
2
+cx+2
同时满足以下条件:
①f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;
②f′(x)是偶函数;
③f(x)在x=0处的切线与直线y=x+2垂直.
(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)设g(x)=[
1
3
x
3
-f(x)]•e
x
,求函数g(x)在[m,m+1]上的最小值.
题型:不详
难度:
|
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