将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个无盖的方盒.欲使所得的方盒有最大容积,截去的小正方形的边长应为多少?方盒的最
题型:不详难度:来源:
将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个无盖的方盒.欲使所得的方盒有最大容积,截去的小正方形的边长应为多少?方盒的最大容积为多少? |
答案
设小正方形的边长为x,则盒底的边长为a-2x, 由于a-2x也要>0,则x∈(0,), 且方盒是以边长为a-2x的正方形作底面,高为x的正方体, 其体积为V=x(a-2x)2,(x∈(0,)) V"=(a-2x)(a-6x),令V"=0,则x1=,x2=, 由x1=∉(0,),且对于x∈(0,),V′>0,x∈(,),V′<0, ∴函数V在点x=处取得极大值,由于问题的最大值存在, ∴V()=即为容积的最大值,此时小正方形的边长为. |
举一反三
已知函数f(x)=x3+x2-2ax-3. (Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)在[-2,0]上的最小值; (Ⅱ)求f(x)的单调增区间. |
已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0). (I)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围; (II)当a取(I)中最小值时,求证:g(x)-f(x)≤x3. |
已知函数:f(x)=x-(a+1)lnx-(a∈R),g(x)=x2+ex-xex (1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值; (2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的取值范围. |
用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形,再将内接矩形卷成一个圆柱(无底、无盖),问使矩形边长为多少时,其体积最大? |
定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f"(x)<0恒成立,且f(4)=1,若f(x+y)≤1,则x2+y2+2x+2y的最小值是______ |
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