已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0).(I)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(II)当a取(I)中最小值时,求证:g(

已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0).(I)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(II)当a取(I)中最小值时,求证:g(

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=sinx(x≥0),g(x)=ax(x≥0).
(I)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(II)当a取(I)中最小值时,求证:g(x)-f(x)≤
1
6
x3
答案
(Ⅰ) 由题意可得:令h(x)=f(x)-g(x)=sinx-ax(x≥0),
所以h"(x)=cosx-a.
若a≥1,h"(x)=cosx-a≤0,
所以h(x)=sinx-ax在区间[0,+∞)上单调递减,即h(x)≤h(0)=0,
所以sinx≤ax(x≥0)成立.       (3分)
若a<1,存在x0∈(0,
π
2
)
,使得cosx0=a,
所以x∈(0,x0),h"(x)=cosx-a>0,
所以h(x)=sinx-ax在区间(0,x0)上单调递增,
所以存在x使得h(x)>h(0)=0,即此时f(x)≤g(x)不恒成立,
所以a<1不符合题意舍去.
综上,a≥1.         (5分)
(Ⅱ)由题意可得:a=1,所以g(x)=x(x≥0),
所以(x)-g(x)=sinx-x(x≥0),
所以原不等式等价于sinx-x-
1
6
x3≤0
(x≥0),
H(x)=x-sinx-
1
6
x3 (x≥0)
,所以H′(x)=1-cosx-
1
2
x2

G(x)=1-cosx-
1
2
x2
,所以G"(x)=sinx-x,
所以G"(x)=sinx-x≤0(x≥0),
所以G(x)=1-cosx-
1
2
x2
在(0,+∞)上单调递减,(8分)
因此有:G(x)=1-cosx-
1
2
x2≤G(0)=0

H′(x)=1-cosx-
1
2
x2≤0

所以H(x)=x-sinx-
1
6
x3 (x≥0)
单调递减,(10分)
所以H(x)=x-sinx-
1
6
x3≤H(0)=0

所以x-sinx-
1
6
x3≤0
(x≥0)恒成立,即x-sinx≤
1
6
x3
(x≥0).         (12分)
举一反三
已知函数:f(x)=x-(a+1)lnx-
a
x
(a∈R)
g(x)=
1
2
x2+ex-xex

(1)当x∈[1,e]时,求f(x)的最小值;
(2)当a<1时,若存在x1∈[e,e2],使得对任意的x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立,求a的取值范围.
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用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形,再将内接矩形卷成一个圆柱(无底、无盖),问使矩形边长为多少时,其体积最大?
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定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f"(x)<0恒成立,且f(4)=1,若f(x+y)≤1,则x2+y2+2x+2y的最小值是______
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
3ex+1
ex+1
+ln(x+


1+x2
)
,若f(x)在区间[-k,k](k>0)上的最大值、最小值分别为M,m,则M+m=______.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=(ax-1)ex+(1-a)x+1.
(I)证明:当a=0时,f(x)≤0;
(II)设当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
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