已知函数f(x)=12x2+1nx.(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值;(Ⅱ)设g(x)=f(x),求证:[g(x)]n-g(xn)≥2n-
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已知函数f(x)=12x2+1nx.(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值;(Ⅱ)设g(x)=f(x),求证:[g(x)]n-g(xn)≥2n-
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=
1
2
x
2
+1nx.
(Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x),求证:[g(x)]
n
-g(x
n
)≥2
n
-2(n∈N
+
).
答案
(Ⅰ)由已知得f′(x)=x+
1
x
,
当x∈[1,e]时,f′(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,e]上单调递增,
所以函数f(x)在区间[1,e]上的最大、最小值分别为f(1)、f(e),
因为f(1)=
1
2
,f(e)=
e
2
2
+1
,
所以函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为
e
2
2
+1
,最小值为
1
2
;
(Ⅱ)当n=1时,不等式成立,
当n≥2时,[g(x)]
n
-g(x
n
)=
(x+
1
x
)
n
-(
x
n
+
1
x
n
)
=
C
1n
x
n-1
•
1
x
+C
2n
x
n-2
•
1
x
2
+…
+C
n-1n
x•
1
x
n-1
=
1
2
[C
1n
(
x
n-2
+
1
x
n-2
)
+C
2n
(
x
n-4
+
1
x
n-4
)+…
+C
n-1n
(
1
x
n-2
+x
n-2
)]
,
由已知x>0,所以:[g(x)]
n
-g(x
n
)≥
C
1n
+C
2n
+…
+C
n-1n
=
2
n
-2
.
举一反三
设函数f(x)=(x-a)e
x
+(a-1)x+a,a∈R.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)(i)设g(x)是f(x)的导函数,证明:当a>2时,在(0,+∞)上恰有一个x
0
使得g(x
0
)=0;
(ii)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈[0,2],恒有f(x)≤0成立.注:e为自然对数的底数.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c的图象经过原点,f′(1)=0,曲线y=f(x)在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若对于任意实数α和β,不等式|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立,求m的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
1
3
x
3
-
a
2
x+
1
2
a
(a∈R).
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在[0,2]上的最大值;
(Ⅱ)若对任意x∈(0,+∞),有f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
题型:昌平区一模
难度:
|
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设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知
f(x)=
1
12
x
4
-
1
6
m
x
3
-
3
2
x
2
.
(Ⅰ)若f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数”,试确定实数m的值;
(Ⅱ)若当实数m满足|m|≤2时,函数f(x)在(a,b)上总为“凸函数”,求b-a的最大值.
题型:湛江二模
难度:
|
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已知对任意的x>0恒有a1nx≤b(x-1)成立.
(1)求正数a与b的关系;
(2)若a=1,设f(x)=m
x
+n,(m,n∈R),若1nx≤f(x)≤b(x-1)对∀x>0恒成立,求函数f(x)的解析式;
(3)证明:1n(n!)>2n-4
n
(n∈N,n≥2)
题型:双峰县模拟
难度:
|
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