设函数f(x)=(x-a)ex+(a-1)x+a,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)(i)设g(x)是f(x)的导函数,证明:当a>2时,在
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=(x-a)ex+(a-1)x+a,a∈R. (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)(i)设g(x)是f(x)的导函数,证明:当a>2时,在(0,+∞)上恰有一个x0使得g(x0)=0; (ii)求实数a的取值范围,使得对任意的x∈[0,2],恒有f(x)≤0成立.注:e为自然对数的底数. |
答案
(1)当a=1时,f(x)=(x-1)ex+1,f"(x)=xex--------------------------------------(2分) 当f"(x)<0时,x<0;当f"(x)>0时,x>0 所以函数f(x)的减区间是(-∞,0);增区间是(0,+∞)-------------------------(4分) (2)证明:(ⅰ)g(x)=f"(x)=ex(x-a+1)+(a-1),g"(x)=ex(x-a+2)------------------(5分) 当g"(x)<0时,x<a-2;当g"(x)>0时,x>a-2 因为a>2,所以函数g(x)在(0,a-2)上递减;在(a-2,+∞)上递增-----------------(7分) 又因为g(0)=0,g(a)=ea+a-1>0, 所以在(0,+∞)上恰有一个x0使得g(x0)=0.--------------------------------------------------(9分) (ⅱ)若a≤2,可得在x∈[0,2]时,g(x)≥0,从而f(x)在[0,2]内单调递增,而f(0)=0, ∴f(x)≥f(0)=0,不符题意.-------------------------------------------------(10分) ∴a>2 由(ⅰ)知f(x)在(0,x0)递减,(x0,+∞)递增, 设f(x)在[0,2]上最大值为M,则M=max{f(0),f(2)}, 若对任意的x∈[0,2],恒有f(x)≤0成立,则,------------------------------------(13分) 由f(2)≤0得(2-a)e2+2a-2+a≤0,∴a≥=2+>2, 又f(0)=0,∴a≥.---------------------------------------------------------(15分) |
举一反三
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象经过原点,f′(1)=0,曲线y=f(x)在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°. (1)求f(x)的解析式; (2)若对于任意实数α和β,不等式|f(2sinα)-f(2sinβ)|≤m恒成立,求m的最小值. |
已知函数f(x)=x3-a2x+a(a∈R). (Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在[0,2]上的最大值; (Ⅱ)若对任意x∈(0,+∞),有f(x)>0恒成立,求a的取值范围. |
设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=x4-mx3-x2. (Ⅰ)若f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数”,试确定实数m的值; (Ⅱ)若当实数m满足|m|≤2时,函数f(x)在(a,b)上总为“凸函数”,求b-a的最大值. |
已知对任意的x>0恒有a1nx≤b(x-1)成立. (1)求正数a与b的关系; (2)若a=1,设f(x)=m+n,(m,n∈R),若1nx≤f(x)≤b(x-1)对∀x>0恒成立,求函数f(x)的解析式; (3)证明:1n(n!)>2n-4(n∈N,n≥2) |
若函数f(x)=x3-a2x满足:对于任意的x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立,则a的取值范围是______. |
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