已知对任意的x>0恒有a1nx≤b(x-1)成立.(1)求正数a与b的关系;(2)若a=1,设f(x)=mx+n,(m,n∈R),若1nx≤f(x)≤b(x-1
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已知对任意的x>0恒有a1nx≤b(x-1)成立.(1)求正数a与b的关系;(2)若a=1,设f(x)=mx+n,(m,n∈R),若1nx≤f(x)≤b(x-1
题型:双峰县模拟
难度:
来源:
已知对任意的x>0恒有a1nx≤b(x-1)成立.
(1)求正数a与b的关系;
(2)若a=1,设f(x)=m
x
+n,(m,n∈R),若1nx≤f(x)≤b(x-1)对∀x>0恒成立,求函数f(x)的解析式;
(3)证明:1n(n!)>2n-4
n
(n∈N,n≥2)
答案
(1)设f(x)=alnx-b(x-1),
易知f(1)=0,由已知f(x)≤0恒成立,
所以函数f(x)在x=1处取得最大值.
f′(x)=
a
x
-b=
a-bx
x
∴f"(1)=0,∴a=b
又∵a>0,∴f(x)在x=1处取得极大值,符合题意,
即关系式为a=b.(3分)
(2)∵a=1,∴b=1∴
lnx≤m
x
+n≤x-1
恒成立,
令x=1,有0≤m+n≤0,∴m+n=0(5分)∴
m
x
+m≤x-1
,
即
(
x
-1)(
x
+1-m)≥0
对∀x>0恒成立,∴须1-m=-1,即m=2∴函数
f(x)=2(
x
-1)
(7分)
(3)由(2)知:
ln
1
k
≤
2
k
-2=
4
2
k
-2<
4
k
+
k-1
-2=4(
k
-
k-1
)-2
(9分)
∴
ln
1
n!
<4[(
n
-
n-1
)+(
n-1
-
n-2
)++(
1
-
0
)]-2n
=
4
n
-2n
即
lnn!>2n-4
n
(n∈N,n≥2)
(12分)
举一反三
若函数
f(x)=
1
3
x
3
-
a
2
x
满足:对于任意的x
1
,x
2
∈[0,1]都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤1恒成立,则a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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已知a>0,函数f(x)=(x
2
-2ax)e
x
的最小值所在区间是( )
A.
(-∞,a-1-
a
2
+1
)
B.
(a-1-
a
2
+1
,0]
C.(0,2a)
D.(2a,+∞)
题型:不详
难度:
|
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(理科)已知x<1,则函数
f(x)=x+
1
x-1
的最大值为( )
A.1
B.2
C.-1
D.3
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=(a-
1
2
)
x
2
+lnx
.(a∈R)
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
题型:茂名一模
难度:
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已知函数f(x)=x
2
-cosx,x∈[-
π
2
,
π
2
]的值域是______.
题型:嘉定区一模
难度:
|
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