若函数f(x)=13x3-a2x满足:对于任意的x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立,则a的取值范围是______.
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若函数f(x)=13x3-a2x满足:对于任意的x1,x2∈[0,1]都有|f(x1)-f(x2)|≤1恒成立,则a的取值范围是______.
题型:不详
难度:
来源:
若函数
f(x)=
1
3
x
3
-
a
2
x
满足:对于任意的x
1
,x
2
∈[0,1]都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤1恒成立,则a的取值范围是______.
答案
由题意f′(x)=x
2
-a
2
当|a|≥1时,在x∈[0,1],恒有导数为负,即函数在[0,1]上是减函数,
故最大值为f(0)=0,最小值为f(1)=
1
3
-a
2
故有
a
2
-
1
3
≤1
,解得|a|≤
2
3
3
,解可得
-
2
3
3
≤a≤
2
3
3
;
又|a|≥1,则-
2
3
3
≤a≤-1或1≤a≤
2
3
3
.
当|a|∈[0,1),由导数知函数在[0,a]上减,在[a,1]上增;
故最小值为f(a)=
-
2
3
a
3
<0,
又f(0)=0,f(1)=
1
3
-a
2
;
若f(0)=0是最大值,此时符合;若f(1)=
1
3
-a
2
是最大值,此时也符合,
故对任意的|a|∈[0,1)都有对于任意的x
1
,x
2
∈[0,1]都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤1恒成立
综上得a的取值范围是
-
2
3
3
≤ a≤
2
3
3
、
故答案为:
-
2
3
3
≤ a≤
2
3
3
.
举一反三
已知a>0,函数f(x)=(x
2
-2ax)e
x
的最小值所在区间是( )
A.
(-∞,a-1-
a
2
+1
)
B.
(a-1-
a
2
+1
,0]
C.(0,2a)
D.(2a,+∞)
题型:不详
难度:
|
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(理科)已知x<1,则函数
f(x)=x+
1
x-1
的最大值为( )
A.1
B.2
C.-1
D.3
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=(a-
1
2
)
x
2
+lnx
.(a∈R)
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
题型:茂名一模
难度:
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已知函数f(x)=x
2
-cosx,x∈[-
π
2
,
π
2
]的值域是______.
题型:嘉定区一模
难度:
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f(x)=p
x
1
p
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.
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1
p
+
1
q
=1,证明:ab≥
a
p
p
+
b
q
q
.
题型:不详
难度:
|
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