定义在（0，+∞）上的函数f(x)=px1p-x(p∈Q，且p＞1)．（1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设1p+1q=1，证明：ab≥a

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定义在（0，+∞）上的函数f(x)=px1p-x(p∈Q，且p＞1)．（1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设1p+1q=1，证明：ab≥a

题型：不详难度：来源：
定义在（0，+∞）上的函数f(x)=px
1
p
-x(p∈Q，且p＞1)．
（1）求函数f（x）的最大值；（2）对于任意正实数a、b，设
1
p
+
1
q
=1，证明：ab≥
ap
p
+
bq
q
．
答案
（1）f′(x)=x
1
p
-1-1．∵
1
p
-1＜0，∴由f"（x）=0，得x=1．
当x变化时，f"（x）、f（x）的变化如下表：
举一反三
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x（0，1）1（1，+∞）
f"（x）+0-
f（x）↗极大↘
如果函数f(x)=
1
3
x3-a2x满足：对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤1恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．[-
2


3
3
，
2


3
3
]		B．(-
2


3
3
，
2


3
3
)
C．[-
2


3
3
，0)∪(0，
2


3
3
]		D．(-
2


3
3
，0)∪(0，
2


3
3
)
已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量


OA
、


OB
、


OC
满足


OA
-(
3
2
x2+1)•


OB
-[ln(2+3x)-y]•


OC
=


0
，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[
1
6
，
1
3
]，a＞ln
1
3
，证明：不等式|a-lnx|＞ln[f′（x）-3x]成立；
（3）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
已知函数f（x）=ex-ex
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对于函数h（x）=
1
2
x2与g（x）=elnx，是否存在公共切线y=kx+b（常数k，b）使得h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b在函数h（x），g（x）各自定义域上恒成立？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
已知函数f（x）=ex-x （e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|
1
2
≤x≤2}且M∩P≠∅，求实数a的取值范围；（3）已知n∈N﹡，且Sn=∫tn[f（x）+x]dx（t为常数，t≥0），是否存在等比数列{bn}，使得b1+b2+…bn=Sn；若存在，请求出数列{bn}的通项公式；若不存在，请说明理由．
设函数f(x)=1nx+
1
x-2
+ax(a≥0)
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)在(0，1]上的最大值为
1
2
，求a的值．