(1)因为函数f(x)=的定义域为(-1,+∞). f′(x)=,由f′(x)=0得x=e-1. 所以当x∈(-1,e-1)时,f′(x)>0. 当x∈(e-1,+∞)时,f′(x)<0. 所以当x=e-1时f(x)由最大值,最大值为f(e-1)=; (2)证明:f(x)-g(x)<0等价于-<0. 不妨设=t 则x=t2-1(t>1). 于是不等式等价于2tlnt<t2-1. 设F(t)=2tlnt-t2+1 则F"(t)=2+lnt-2t 当t>1时,F"(x)<0,F(x)单调递减. 所以F(t)<f(1)=0. 也就等价于f(x)<g(x)恒成立(当x=1时等号成立). |