已知函数f（x）=x3+ax2-x+6，且a=f′(23)．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值．

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已知函数f（x）=x³+ax²-x+6，且a=f′(

)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值和最小值．

答案

（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²-x+6，
∴f′（x）=3x²+2ax-1，
∵a=f′(

)
∴a=

a-1，∴a=-1；
（Ⅱ）f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1）
∴函数在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增
∵f（0）=6，f（1）=5，f（3）=21
∴函数f（x）在区间[0，3]上的最大值为21，最小值为5．

举一反三

已知函数f（x）=

x²+1nx．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x），求证：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

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设函数f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）（i）设g（x）是f（x）的导函数，证明：当a＞2时，在（0，+∞）上恰有一个x₀使得g（x₀）=0；
（ii）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立．注：e为自然对数的底数．

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已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象经过原点，f′（1）=0，曲线y=f（x）在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意实数α和β，不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．

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已知函数f（x）=

x³-a2x+

a（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

题型：昌平区一模难度：| 查看答案

设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知f(x)=

x4-

mx3-

x2．
（Ⅰ）若f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；
（Ⅱ）若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求b-a的最大值．

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