已知f(x)=x2+2x+alnx(1)当a=-4,求f(x)的最小值;(2)若f(x)在(0,1)不单调,求a的取值范围;(3)当t≥1时,f(2t-1)≥2
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已知f(x)=x2+2x+alnx (1)当a=-4,求f(x)的最小值; (2)若f(x)在(0,1)不单调,求a的取值范围; (3)当t≥1时,f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求a的取值范围. |
答案
(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞) 当a=-4时,f(x)=x2+2x-4lnx, f′(x)=2x+2-=. 当x∈(0,1)时,f′(x)0. 所以,f(x)在x=1时取得极小值,也就是最小值,等于f(1)=3; (2)因为f(x)=x2+2x+alnx(x>0), 所以f′(x)=2x+2+=. 设g(x)=2x2+2x+a, ∵函数f(x)在区间(0,1)上不单调, ∴,即,解得-4<a<0. ∴实数a的取值范围是{a|-4<a<0}; (3)不等式f(2t-1)≥2f(t)-3可化为 2t2-4t+2≥alnt2-aln(2t-1) ∴2t2-alnt2≥2(2t-1)-aln(2t-1) 令h(x)=2x-alnx(x≥1),则问题可化为h(t2)≥h(2t-1) ∵t≥1,∴t2≥2t-1 要使上式成立,只需要h(x)=2x-alnx(x≥1)是增函数即可. 即h′(x)=2-≥0在[1,+∞)上恒成立, 即a≤2x在[1,+∞)上恒成立, 故a≤2. ∴实数a的取值范围是(-∞,2]. |
举一反三
函数f(x)=x3-x2-x+a的极小值为-,则实数a的值为______. |
设函数f(x)=-+xln(ex+1)+3的定义域为区间[-a,a],则函数f(x)的最大值与最小值之和为______. |
若关于x的不等式x2+1≥kx在[1,2]上恒成立,则实数k的取值范围是______. |
函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间[0,]上的值域为______. |
已知曲线C1:y=x3-3x+,曲线C2:y=x2-x+m,若当x∈[-2,2]时,曲线C1在曲线C2的下方,则实数m的取值范围是______. |
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