若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为______.

若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为______.

题型:不详难度:来源:
若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为______.
答案
∵函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,
∴将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位,得函数y=f(x-2)的图象关于x=0对称,
可得f(x-2)=[1-(x-2)2][(x-2)2+a(x-2)+b]是偶函数
设g(x)=f(x-2)=-x4+(8-a)x3+(12a-b-23)x2+(28-11a+4b)x+8a-4b
∵g(-x)=g(x),





8-a=0
28-11a+4b=0
,解之得





a=8
b=15

因此,f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)=-x4-8x3-14x2+8x+15
求导数,得f"(x)=-4x3-24x2-28x+8
令f"(x)=0,得x1=-2-


5
,x2=-2,x3=-2+


5

当x∈(-∞,-2-


5
)时,f"(x)>0;当x∈(-2-


5
,-2)时,f"(x)<0;
当x∈(-2,-2+


5
)时,f"(x)>0; 当x∈(-2+


5
,+∞)时,f"(x)<0
∴f(x)在区间(-∞,-2-


5
)、(-2,-2+


5
)上是增函数,在区间(-2-


5
,-2)、(-2+


5
,+∞)上是减函数
又∵f(-2-


5
)=f(-2+


5
)=16
∴f(x)的最大值为16
故答案为:16
举一反三
若函数f(x)满足:在定义域内存在实数x0,使f(x0+k)=f(x0)+f(k)(k为常数),则称“f(x)关于k可线性分解”.
(1)函数f(x)=2x+x2是否关于1可线性分解?请说明理由;
(2)已知函数g(x)=lnx-ax+1(a>0)关于a可线性分解,求a的范围;
(3)在(2)的条件下,当a取最小整数时;
(i)求g(x)的单调区间;
(ii)证明不等式:(n!)2≤en(n-1)(n∈N*).
题型:成都模拟难度:| 查看答案
设函数fn(x)=-xn+3ax+b(n∈N*,a,b∈R).
(1)若a=b=1,求f3(x)在[0,2]上的最大值和最小值;
(2)若对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f3(x1)-f3(x2)|≤1,求a的取值范围;
(3)若|f4(x)|在[-1,1]上的最大值为
1
2
,求a,b的值.
题型:盐城二模难度:| 查看答案
已知f(x)=ax-1nx,x∈(0,e],g(x)=
1nx
x
,其中e是自然常数,a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,研究f(x)的单调性与极值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:f(x)>g(x)+
1
2

(Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
题型:甘肃三模难度:| 查看答案
设函数f(x)=ex-
k
2
x2-x

(1)若k=0,求f(x)的最小值;
(2)若当x≥0时f(x)≥1,求实数k的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
设函数f(x)=
1-a
2
x2+ax-lnx(a∈R)

(Ⅰ) 当a=1时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a>1时,讨论函数f(x)的单调性.
(Ⅲ)若对任意a∈(3,4)及任意x1,x2∈[1,2],恒有
(a2-1)
2
m+ln2>|f(x1)-f(x2)|
成立,求实数m的取值范围.
题型:吉林二模难度:| 查看答案
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